Galileu Newton Relativitat especial Relativitat general
Abans de Newton, Galileu
Un grup de lògics i filòsofs naturals del Merton College a Oxford (Thomas Bradwardine, William Heytesbury, Richard Swineshead, John Dumbleton) van desenvolupar el famós teorema de la velocitat mitjana (Merton mean speed theorem): per a un moviment uniformement accelerat, la distància recorreguda equival a la que es recorreria a velocitat constant igual a la velocitat mitjana.
Nicole Oresme, també al segle XIV. Va fer l’aportació clau de representar gràficament la velocitat en funció del temps (eixos horitzontals i verticals), de manera que l’àrea sota la corba representava la distància recorreguda. Això és essencialment una demostració geomètrica del teorema mertonià i un precedent directe del càlcul infinitesimal.
Domingo de Soto, segle XVI, teòleg i filòsof espanyol va ser dels primers a suggerir explícitament que la caiguda lliure dels cossos és un exemple real de moviment uniformement accelerat, aplicant les idees mertonianes a un fenomen físic concret (no només abstracte).
Galileo Galilei i el principi de relativitat
A principis del segle XVII formula relacions quantitatives precises entre temps, velocitat i espai per a la caiguda lliure i el moviment de projectils (per exemple, que l’espai recorregut és proporcional al quadrat del temps). Ho fa encara amb el llenguatge de proporcions geomètriques (a l’estil euclidià), no amb l’àlgebra moderna, però és la base directa sobre la qual Newton (i Leibniz) construiran el càlcul diferencial i les lleis del moviment.
Al Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo (1632), al Segon Dia, en el passatge conegut popularment com “el vaixell de Galileu”. Hi demana al lector que s’imagini tancat sota coberta en un vaixell que es mou a velocitat constant i uniforme (sense sacsejades): deixant caure objectes, observant peixos en una peixera, mosques volant per la cabina, gotes caient d’un recipient… cap experiment mecànic fet dins el vaixell permet determinar si aquest està en repòs al port o navegant a velocitat constant. Tot es comporta exactament igual en tots dos casos.
Estava defensant el sistema copernicà (heliocèntric) contra l’objecció obvia que si la Terra es mou, hauríem de notar-ho (per exemple, un objecte llançat cap amunt hauria de quedar “enrere” respecte a la Terra en moviment). Galileu responia que això és fals: el moviment uniforme és indetectable mitjançant experiments mecànics interns al sistema; només el moviment relatiu entre sistemes és observable, no el moviment “absolut”.
Newton, 1687
L’Escoli (Scholium) dels Principia (1687)
Just després de les definicions inicials i abans d’entrar en els axiomes i lleis del moviment, Newton inclou un escoli on distingeix explícitament entre magnituds “absolutes, vertaderes i matemàtiques” i les seves contraparts “relatives, aparents i comunes”. Sobre el temps, escriu (parafrasejant el contingut, no traduint literalment):
El temps absolut, vertader i matemàtic, per la seva pròpia naturalesa, flueix uniformement, sense relació amb res extern, i s’anomena també duració.
El temps relatiu, aparent i comú és la mesura sensible i externa d’aquesta duració (fer servir el moviment, com el dia solar, com a “rellotge”) que fem servir habitualment en la vida ordinària, i que pot ser irregular.
Newton necessita aquesta distinció perquè les seves lleis del moviment (F=ma, etc.) necessiten una noció de temps que flueixi de manera perfectament regular per tenir sentit matemàtic i físic rigorós —si el “tic-tac” de referència no fos uniforme, l’acceleració mateixa deixaria de ser una noció ben definida. Però com que cap rellotge físic real és perfectament uniforme (ni el moviment dels astres, deia ell mateix, és del tot regular), calia postular l’existència d’aquest temps absolut com a fons ontològic ideal, respecte al qual els rellotges físics només són aproximacions més o menys bones.
[És literalment com un “clock rate” dels ordinadors universal, còsmic, compartit per definició per tots els sistemes de referència —exactament la intuïció que la relativitat especial desmuntarà. En el marc newtonià no té sentit preguntar “el mateix per a qui?”, perquè no hi ha diversos temps possibles a comparar: n’hi ha un de sol, absolut, i tots els rellotges (bons o dolents) l’intenten seguir.
Newton (com Henry More i altres platonistes de Cambridge que el van influir) concebia l’espai absolut i el temps absolut com quelcom relacionat amb la presència de Déu a l’univers —de vegades se’n parla com si l’espai fos el “sensorium Dei”. Leibniz, en la famosa correspondència amb Samuel Clarke (defensant les posicions newtonianes), va atacar precisament aquesta idea, argumentant que espai i temps absoluts sense referència a res extern eren metafísicament buits i injustificables: per a Leibniz, espai i temps són només relacions entre coses (posicions relatives, ordre d’esdeveniments), no receptacles absoluts preexistents. Aquest debat Newton-Leibniz (via Clarke) és, en certa manera, un precedent filosòfic directe del debat que Einstein resoldrà físicament dos-cents anys després.
I. Tempus absolutum verum & Mathematicum, in se & natura sua absq; relatione ad externum quodvis, æquabiliter fluit, alioq; nomine dicitur Duratio; relativum apparens & vulgare est sensibilis & externa quævis Durationis per motum mensura, (seu accurata seu inæquabilis) qua vulgus vice veri temporis utitur; ut Hora, Dies, Mensis, Annus.
“Absolute, true, and mathematical time, of itself, and from its own nature, flows equably without relation to anything external, and by another name is called duration: relative, apparent, and common time, is some sensible and external (whether accurate or unequable) measure of duration by the means of motion, which is commonly used instead of true time; such as an hour, a day, a month, a year.”
II. Spatium absolutum natura sua absq; relatione ad externum quodvis semper manet similare & immobile; relativum est spatii hujus mensura seu dimensio quælibet mobilis…
Possibile est ut nullus sit motus æquabilis quo Tempus accurate mensuretur. Accelerari & retardari possunt motus omnes, sed fluxus Temporis absoluti mutari nequit. Eadem est duratio seu perseverantia existentiæ rerum, sive motus sint celeres, sive tardi, sive nulli…
“The flowing of absolute time is not liable to any change. The duration or perseverance of the existence of things remains the same, whether the motions are swift or slow, or none at all.”
Relativitat especial
(VK) Les lleis de l’electromagnetisme implicarien que si un corrent elèctric crea un camp magnètic, una càrrega elèctrica en moviment ha de crear un camp magnètic. Però si un observador es mou conjuntament amb la càrrega, o bé no observa cap camp magnètic (perquè per a ell la càrrega no es mou), o bé la llei del camp magnètic induït per un corrent no és la mateixa depenent de la velocitat de l’observador.
El 1810 Francesc Aragó, i després Michelson-Morley, van fer un experiment per determinar si la velocitat de la llum variava segons la velocitat de l’observador, amb mesures a les 6h del matí i 18h de la tarda), segons si ens estem apropant o allunyant de l’emissor (no és c+v i c-v).
D’aquests dos principis:
1. Principi de relativitat: les lleis de la física són idèntiques en tots els sistemes de referència inercials.
2. Invariància de la velocitat de la llum: c té el mateix valor per a tots els observadors inercials, independentment del seu moviment relatiu o del moviment de la font de llum.
La relativitat especial amb les transformacions de Lorenz proporciona un conjunt de fórmules (les transformacions de Lorentz) que permeten traduir les coordenades espacials i temporals d’un esdeveniment mesurades per un observador en un sistema de referència inercial a les coordenades que li correspondrien mesurades per un altre observador en un sistema inercial diferent (movent-se a velocitat constant respecte al primer).
La invariància de c força que temps i espai deixin de ser absoluts, i les transformacions de Lorentz són precisament la recepta matemàtica que garanteix que, malgrat que cada observador mesuri longituds i durades diferents, tots calculin el mateix valor de c.
Això implica que la simultaneïtat depèn del sistema. Les longituds observades es contrauen, i el temps es dilata.
[pendent de veure com canviarien les equacions de Maxwell si apliquem la relativitat normal c-v, c+v, i com queden si apliquem la transformació de Lorenz.
Relativitat general
>> pendent
La noció de la gravetat com a força instantània queda en qüestió amb la relativitat especial. Einstein ho replantejarà: en lloc de pensar la gravetat com un camp de forces en un espai pla (que les fa accelerar), el que tenim és un cos en caiguda lliure [sense forces] que “cau” segons una geometria de l’espai-temps causada per altres masses. [la massa no actua sobre els punts de l’espai, la massa el que fa és deformar la quadrícula del tauler.
Einstein partia del fet que no podem distingir si estic accelerant (massa inercial, un coet) o si estic caient.
Molt bona connexió a fer. En relativitat general el temps es veu afectat per un fenomen addicional i conceptualment diferent de la dilatació temporal per moviment (cinemàtica) que ja coneixes de la relativitat especial: la dilatació temporal gravitatòria, deguda a la curvatura de l’espaitemps, no al moviment relatiu.
1. Dilatació gravitatòria del temps
Un rellotge situat en una regió on el potencial gravitatori és més “profund” (més a prop d’una massa, per exemple més a baix en un pou gravitatori) avança més a poc a poc que un rellotge situat en una regió on el potencial és més feble (més lluny de la massa), quan tots dos es comparen des d’un mateix observador extern. En el cas newtonià feble aproximat, la relació ve donada per:
dτ ≈ dt · (1 + Φ/c²)
on Φ és el potencial gravitatori (negatiu, i que es fa “més negatiu” com més a prop de la massa). Com més negatiu és Φ (més a prop de la massa), més lent avança el rellotge propi τ respecte del temps coordenat t d’un observador llunyà.
Aquest efecte s’ha comprovat experimentalment moltes vegades: l’experiment de Pound–Rebka (1959, desplaçament cap al vermell gravitatori d’un fotó pujant en un edifici de Harvard), i de manera molt més precisa, el funcionament diari del GPS: els satèl·lits estan més amunt en el pou gravitatori terrestre, així que els seus rellotges tendeixen a avançar més ràpid per aquest efecte gravitatori (~+45 μs/dia), però alhora es mouen a gran velocitat respecte a la superfície terrestre, cosa que els fa anar més lents per l’efecte cinemàtic de relativitat especial que ja coneixes (~-7 μs/dia). El balanç net (~+38 μs/dia) s’ha de corregir explícitament als rellotges dels satèl·lits, o el sistema GPS acumularia errors de quilòmetres en qüestió d’hores.
2. Diferència conceptual respecte a la dilatació de la relativitat especial
- RE (moviment): és recíproca i simètrica — cada observador inercial veu el rellotge de l’altre anar més lent que el propi, i no hi ha cap “veritat absoluta” sobre qui té raó fins que no es comparen físicament els rellotges (paradoxa dels bessons: l’asimetria ve de l’acceleració d’un dels dos).
- RG (gravetat/potencial): no és simètrica en el mateix sentit. Si dos rellotges estan en repòs relatiu, un a nivell del mar i l’altre al cim d’una muntanya, tots dos observadors coincideixen en què el rellotge de la muntanya avança més ràpid. No és una qüestió de perspectiva: és una diferència real i mesurable acumulada, deguda a la diferència de potencial gravitatori, no al moviment relatiu.
3. Interpretació geomètrica
En el llenguatge de la geometria de l’espaitemps: la presència de massa-energia corba l’espaitemps de manera que les “línies d’univers” (trajectòries en el temps) de rellotges a diferent profunditat en un camp gravitatori travessen quantitats diferents de temps propi per al mateix interval de temps coordenat. És exactament l’anàleg temporal del fet que, en una superfície corbada, dos camins que uneixen els mateixos dos punts poden tenir longituds diferents.
4. Altres efectes relacionats sobre el temps en RG
Val la pena mencionar-ne dos més que deriven del mateix fenomen:
- Desplaçament cap al vermell gravitatori (gravitational redshift): la llum que surt d’una regió de potencial gravitatori més fort perd energia en “escalar” el pou gravitatori, i la seva freqüència disminueix (s’allarga la longitud d’ona) tal com la mesura un observador llunyà — directament relacionat amb la dilatació temporal, ja que la freqüència és l’invers d’un període temporal.
- Retard de Shapiro: un senyal de llum que passa a prop d’una massa gran (per exemple, a prop del Sol) triga més temps a arribar-hi del que s’esperaria en espai pla, perquè travessa una regió d’espaitemps més corbat — un altre efecte de “dilatació” en el sentit que el camí a través de l’espaitemps corbat no és equivalent al camí en espai pla.
En resum: a la relativitat especial, el temps es dilata per moviment relatiu entre sistemes inercials (efecte simètric/recíproc). A la relativitat general, s’hi afegeix la dilatació temporal gravitatòria, causada per la diferència de potencial gravitatori o, en termes geomètrics, per la curvatura de l’espaitemps (efecte no recíproc, mesurable de manera absoluta entre dos observadors en repòs relatiu però a diferent “alçada” en un camp gravitatori). En un cas general (per exemple, un satèl·lit en òrbita), ambdós efectes —cinemàtic i gravitatori— hi són presents alhora i s’han de sumar.